Ссылка на описание курса

🔷 На данном семинаре разбирались некоторые задачи для демонстрации различных техник матричного анализа и обсуждались важные свойства положительно определенных матриц.

• Обсудили свойства положительно определенных матриц.

  • Положительность собственных значений. Невырожденность матрицы.
  • Обратная, сопряженная, транспонированная тоже являются невырожденными
  • Самосопряженность положительно определенной матрицы в комплексном случае, и почему в действительном её нет.
  • Элементы на диагонали являются действительными числами.
  • Любой элемент матрицы по модулю не превосходит один из элементов соответствующих ему на диагонали

  $$ |a_{ij}| \le \max(|a_{ii}|, |a_{jj}|) $$

• Доказали неравенство для собственных и сингулярных чисел:

$$ \sum\limits_{i}|\lambda_i(A)|^2 \le \sum\limits_i \sigma^2(A) $$

Для этого потребовалось вспомнить свойства следа матрицы, разложение Шура (см. Семинар 0) и свойства матричной нормы Фробениуса.